OpenAI 的证明抹去了 Landau-Siegel 零点，逼得学界重新审视 P 与 NP

10 月 18 日，斯坦福数论学家 Jared Duker Lichtman 公开写道：一份八页长的 AI 生成证明，刚刚终结了一个困扰人类数学家大约五十年的数论问题——而这个结果的结构强烈暗示着 P ≠ NP。他并不是在宣布计算机科学中最著名的开放问题已被解决。他回应的是一件范围更窄、却在某种意义上更令人不安的事：这份证明由一个 AI 模型在几个小时内找到，随后由人类专家花了几天时间完成验证。这种不对称，恰恰就是数学中一个最深刻的未解问题背后的直觉。

这里说的证明，是 OpenAI 声称解决的「Landau-Siegel 零点不存在」这一结论——它来自公司 10 月 6 日在一个公开 GitHub 仓库发布的722 份数学手稿。这次发布涵盖 372 个此前悬而未决的问题族，由一个尚未公开的内部模型完成。据公司自己的说法，这个模型平均每个结果大约花费三小时的计算时间，总共尝试了大约 4000 个问题。据《Quanta》杂志报道，Lichtman 后来称其为「迄今为止 AI 用于数学的最重大成就」。

Landau-Siegel 零点是什么——以及它不存在为何重要

Landau-Siegel 零点，是一类名为狄利克雷 L 函数的函数所假想存在的、近乎例外的实零点——狄利克雷 L 函数是解析数论的核心对象。L 函数编码了关于素数的算术信息，尤其是等差数列中的素数（落在 1、5、9、13 这类数列中的素数）。如果存在接近 1 的 Landau-Siegel 零点，就意味着对素数在这些数列中如何分布的标准控制，会以一种异常严重的方式失效。它们不存在，则让数论学家对这些分布有了更紧的一致控制——这种控制可以作为广义黎曼猜想（GRH）一个较弱但仍相当有力的替代。

OpenAI 的模型实际上得出了一个更大的结果，Landau-Siegel 的结论只是它的一个推论：一个所谓的准黎曼猜想（QRH）——一份 199 页、经 Lean 验证的证明，确立了每一个狄利克雷 L 函数的所有非平凡零点都位于一个固定的带状区域内，其实部严格介于 7/8 和 11/12 之间。这份证明收录在openai/math GitHub 仓库中。它没有达到完整的黎曼猜想——后者断言所有这类零点都恰好位于 Re(s) = 1/2 这条直线上——但它给出的无零点区域，明显强于文献中此前证明过的任何结果。这一结果的独立确认——通过下文所述的 Landau-Siegel 一连串简化——为数学界提供了进入这项工作最容易的切入点。

从八页到五页：人类数学家如何解读这份证明

在 10 月 6 日发布后的一周里，人类数学家对 Landau-Siegel 证明的压缩，成为整个故事中的标志性事件之一。

密苏里大学的数学家 William Banks 是第一个。在 OpenAI 发布五天后，Banks 发表了一份 19 页的阐述，用明确的常数重构了 Landau-Siegel 的论证——为同一结果给出了一份人类可读的版本。随后 Bryce Kerr 发表了一份六页的版本，借助双二次域扩张和 Masser 的一个经典结果完成了压缩。牛津大学 Waynflete 纯数学教授 Ben Green，在 10 月 17 日至 18 日前后发表了一份五页的证明，为这场接连不断的简化画上了句号。

这种压缩速度，促使伦敦玛丽女王大学教授 Abhishek Saha 提出了一个如今在数论圈子里流传的问题：如果证明 Landau-Siegel 零点不存在只需要五页，为什么数学家半个世纪都没找到？坦率的回答是，AI 没有遵循人类预期会奏效的那些策略。它在这个领域尚未系统探索过的地带找到了一条路，原因可能是标准的启发式方法都指向了别处。人类数学家如今正借助 Banks 的阐述和 Green 的压缩版本来阅读 AI 的方法，努力弄清的不只是这份证明是否正确，还有其背后的策略究竟揭示了它为何奏效。这个问题——AI 看到了什么人类没看到的东西——最终可能比结果本身更有价值。

为什么这份五页证明会触发 P 与 NP 的直觉

P 与 NP 问题由 Stephen Cook 于 1971 年正式提出，悬赏100 万美元的克雷千禧年大奖，它问的是：每一个答案能被快速验证的问题，是否也都能被快速求解。复杂度类 P 包含可以在多项式时间内求解的问题；NP 包含可以在多项式时间内验证的问题。问题在于这两个类是否完全相同。

研究者压倒性的共识是 P ≠ NP——也就是说，存在一些验证问题，找不到任何快速算法来求解。但没有人证明过这一点。Landau-Siegel 的简化之所以在这个语境下引人注目，是因为它恰好具现了支撑 P ≠ NP 这一信念的结构：一份花了五十年才找到、但一旦找到只需五页就能验证的证明。这次搜索对 AI 来说计算代价高昂，而在历史上对人类数学而言代价更大。验证却很廉价。这种不对称，就是 P ≠ NP 最容易辨认的应用形态。

这并不是对 P ≠ NP 的证明。但它活生生地展示了：发现数学结果与验证数学结果之间的差距确实存在，而且很大——而这正是 P ≠ NP 以一般化的形式，对所有计算问题所断言的内容。数学界流传的推论则更尖锐：研究者长期视为真正困难的东西，从一个评估数学结构、而非遵循既定研究启发式的系统的角度看，也许完全是另一番模样。

让 P 与 NP 真正难以证明的，不是对 P ≠ NP 的信念，而是已被证明的事实：现有的大多数技术都不可能用来确立它。目前有三道障碍制约着这个领域。相对化障碍由Baker、Gill 和 Solovay 在 1975 年确立，表明标准的对角化方法无法解决 P 与 NP 问题。自然证明障碍由Razborov 和 Rudich 在一篇 1994 年完成、1997 年发表的论文中指出，它表明，任何强到足以证明电路下界的证明策略，很可能都会导出一个能攻破伪随机数生成器的构造——这一明显的矛盾排除了整族整族的技术。代数化障碍由Aaronson 和 Wigderson 在 2008 年形式化，把同样的不可能性扩展到了使用有限域上代数技术的方法。这三道障碍合在一起，并不阻止 P 与 NP 被证明，但它们排除了研究者知道如何使用的几乎所有方法。

OpenAI 在理论计算机科学上解决了什么——以及没解决什么

在 722 份手稿中，有 40 个问题族属于理论计算机科学。其中有几个落在通往 P 与 NP 的主要路线上。

其中影响最深远的，可能是声称证明了唯一博弈猜想（UGC）的那份手稿，发布时附有 Lean 形式化。这份OpenAI 的 UGC 手稿针对的是 Subhash Khot 在 2002 年提出的一个猜想，该猜想断言：把某些约束满足问题近似到超过特定阈值是 NP 难的。这个猜想已成为近似复杂度领域的核心组织原则；近二十年来关于近似算法的困难性结果，都以它为基础。OpenAI 的证明声称在标准的 P ≠ NP 假设下无条件地确立了 UGC——而不把猜想本身当作公理——方法是先构造一个具有近乎完美完备性和任意小可靠性的唯一博弈实例，再通过独裁者测试框架，把这个差距传导到 Basic-SDP 阈值问题上。

这份证明的正确性仍在审查中。Dana Moshkovitz——一位顶尖的 UGC 专家，她职业生涯的大部分时间都在研究这个猜想——在Scott Aaronson 公开的短信中形容这份 AI 手稿读起来「像是一个嗑了致幻剂的人写的」，她说如果没有 AI 辅助，这份手稿几乎无法读懂。据报道，在发布当晚，她九岁的儿子嘲笑她说，一台机器解决了她整个学术生涯都在追逐的问题。这件轶事在数学界广为流传。

其他理论计算机科学成果还包括：声称的深度为 3 的电路下界；一个证明复杂度类 L、RL 和 BPL 相等的结果（意味着随机性对空间受限的计算没有帮助）；以及一个约为 9/4 的矩阵乘法指数上界——见openai/math 仓库中的一份预印本——这朝着猜想中的最优值 2 迈出了有意义的一步，尽管离它仍有相当距离。

尽管这些结果如此密集，Lance Fortnow 的计算复杂性博客——它追踪这个领域已有几十年——在发布次日得出结论：这些结果没有一个让研究者更接近解决 P 与 NP 问题，而且模型只解决了交给它的问题中不到 10%。Scott Aaronson把 10 月 6 日形容为数学史上最重要的日子之一，但他也指出，问题清单里明确包含了证明 P ≠ NP 和解决 P = BPP（随机化多项式时间算法能否被完全去随机化）的尝试，而 OpenAI 的模型在这两个问题上都失败了。

GitHub 上的这次发布与 P 与 NP 证明之间的四道差距

OpenAI 10 月 6 日的发布与一份 P 与 NP 证明之间的距离，是结构性的，而不只是数量上的。

第一，只有大约 42% 的手稿附有 Lean 形式化。其余手稿依赖人工审阅，而审阅才刚刚开始。Aaronson 指出，几乎没有人读过任何一份较长证明的全文。UGC 手稿——影响最深远的那项理论计算机科学成果——被这个领域首屈一指的专家承认，没有 AI 辅助几乎读不懂。

第二，发表竞赛在 OpenAI 发布之前就已经开始了。据《Quanta》杂志报道，麻省理工学院 Dor Minzer 的研究小组在 9 月 11 日前后听到了 OpenAI 这项工作的传闻，于是赶在 OpenAI 发布之前，抢先发表了一份独立的变体证明。人类数学家竞相确立独立的优先权，表明学界正在重新校准自己对哪些开放问题「够得着」的判断，尽管具体的证明仍在审查之中。

第三，Lean 形式化验证只保证在给定形式公理下的逻辑有效性——它不保证形式化命题精确地刻画了想要表达的数学对象。一份 Lean 证明说明某个形式化定义的结构具有某些性质，这在其形式系统内是正确的，但这个形式化定义与直观问题之间的对应关系，本身仍是一个需要学界做出的人为判断。

第四，也是最根本的一点，P 与 NP 证明所缺的那块拼图，并不是 OpenAI 发布的任何一项结果。它是一个一般的布尔电路下界——证明没有任何多项式规模、深度不受限的布尔电路能解决某个 NP 问题。在深度为 3 的电路和代数电路上的理论计算机科学突破，都还没有触及这个一般情形。数论结果无论多么惊人，也无法替代它。

理论计算机科学中最深的反讽

10 月 26 日，OpenAI 宣布了另一项结果：声称推翻了指数时间假设（ETH）——该假设断言布尔可满足性问题无法在亚指数时间内求解。同一天，Anthropic 独立发表了自己对 ETH 的反驳，题为「3-SAT 的 2^o(n) 时间算法」，并将其归功于自家的 Claude 模型——这是第一次有两家 AI 公司在同一天、各自独立地宣布解决了同一个重大理论猜想。两家机构都明确表示，这些结果并不意味着 P = NP。如果这些反驳得到确认，它们将推翻一个支撑着细粒度复杂度理论大部分内容的猜想。

这些进展的累积效应，已经改变了研究者对整个领域格局的看法。一些被认为真正悬而未决、预计还要再过一代人才能解决的问题，在几周之内就被终结，或被可信地逼近。P 与 NP 周边的领域——近似困难性、受限深度的电路下界、去随机化、算术复杂度——已被大幅重组。没有改变的是核心：证明在一般布尔电路模型中，没有任何多项式时间算法能解决 NP 难问题。这道差距依然存在。自然证明障碍尤其表明，任何强到足以得出这种证明的技术，都会带来一些似乎与研究者对伪随机性的认知相矛盾的后果——这一限制对 AI 生成的证明和对人类生成的证明同样适用。

这一切背后的哲学注脚是真实存在的。AI 系统消耗巨量算力来生成数学证明。人类一旦拿到这些证明，就能很快验证。生成与验证之间的不对称，并不是 AI 这项技术偶然附带的特征；它在结构上就嵌在当前大规模模型的运作方式里。如果未来某个 AI 模型最终证明了 P ≠ NP，它将会耗费海量计算资源去找到一份证明，而任何一个研究生随后都能用一个下午读完并验证它。这将是——除了其他意义之外——数学史上最具自指意味的定理证明。下一个值得关注的里程碑，不是又一个数论结果。而是是否有任何 AI 系统——或任何借助 AI 工具的人——能够得出一个绕开全部三道已知障碍的一般布尔电路下界。10 月 6 日的发布改变了研究者对近期可能性的预期。但它没有回答那个问题。