OpenAI 称又一道百万美元数学难题取得进展，而第一道尚未获得验证

在发表一份经 Lean 验证的证明、声称解决了纳维-斯托克斯千禧年大奖难题三天之后，OpenAI 于周三告诉《纽约时报》，它已经在同一组七道难题中的第二道上取得「实质性进展」，正在研究如何公开分享结果。该公司没有点名是哪道题，但据知情人士流传的消息，指向的是霍奇猜想 —— 代数几何中一个悬而未决了数十年的问题。另外，未经证实的社交媒体消息称，Anthropic 可能在攻克贝赫和斯维纳通-戴尔猜想，不过该公司没有发布任何官方声明。

这些都还不是经过认证的数学。克雷数学研究所 —— 它于 2000 年设立了七道千禧年大奖难题，并掌管每道题所附的 100 万美元奖金 —— 仍把纳维-斯托克斯问题列为未解决，其所长表示评估将「刻意不慌不忙」。与此同时，第一份声明已经让 OpenAI 卷入一场署名争议，涉及一位纽约大学数学家和一位 Anthropic 研究员 —— 在 OpenAI 入场之前，他们一直在攻克同一类问题。

OpenAI 的纳维-斯托克斯证明究竟声称了什么 —— 又没有声称什么

纳维-斯托克斯方程写成于 19 世纪，描述空气和水等流体如何运动。其核心未决问题 —— 这些方程能否在有限时间内产生速度无穷大的点，即「爆破」—— 已经难住数学家约 90 年。OpenAI 的证明于 9 月 8 日发表，同时附有一篇 165 页的分析论文和一份 Lean 4 形式化，它主张答案是肯定的：对一团起初静止的流体施加一个光滑的外力，一个涡旋可以向内盘旋、拉长并加速，直到其中心处的速度发散。

问题的「有外力」与「无外力」两种变体之间的区别，决定了这一结果是否有资格获得克雷奖。由数学家 Charles Fefferman 撰写的官方问题陈述包含四个选项：A 和 B 问的是，光滑、无散的初始条件 —— 不施加任何外力 —— 能否演化出奇点；C 和 D 则允许施加外力。OpenAI 的证明针对的是 C 和 D。多数一线数学家认为 A 和 B 是这个问题更难、在物理上也更有意义的版本，因为真实流体不会被一个人为挑选的外力驱动到奇点。OpenAI 承认了这一点，并表示不会申领那 100 万美元奖金。

Lean 形式化很重要。Lean 是一种形式化证明助手，能验证论证中的每一个逻辑步骤，是否在系统所编码的定义下由上一步推出。独立研究者可以下载 OpenAI 的 Lean 代码，确认它能无错编译。Lean 无法验证的，是那些 Lean 定理陈述是否忠实地刻画了克雷问题 —— 从数学英语到形式化代码的这层映射是由人完成的，需要专家审查。克雷研究所尚未完成这项审查，数学家们说评估过程至少需要两年。

一万个智能体如何搜索出一份证明

OpenAI 部署了一个由 AI 智能体组成的协调系统，运行在一个未具名的内部模型上 —— 它称该模型的能力显著强于GPT-6 Astra，即该公司目前对公众开放的最先进系统。这个内部模型的训练始于 8 月 28 日，大约在证明运行开始前一周。

这套架构是分层运作的。智能体被组织成大小不一、彼此通信的子组；各组之间可以共享部分结果，OpenAI 还用它的 Codex 模型帮助汇总各组中有用的想法。这些智能体拥有两项对外能力：读取一份缓存的互联网快照，以及在隔离环境中执行代码。OpenAI 表示，这两项能力都不涉及访问任何实时用户数据。

运行分两个阶段进行。一个约 100 个智能体组成的较小团队花了大约 50 小时，得出一个相关结果：证明无外力的欧拉方程 —— 纳维-斯托克斯的无摩擦近亲，不施加外力、并去掉了黏性项 —— 可以在有限时间内爆破。研究人员把这个中间结果输入纳维-斯托克斯的攻关中。随后，约 10000 个并发智能体组成的更大团队花了 88 小时，生成了 270 万条内部消息、约 1300 亿个输出 token，最终得出奇点构造。GPT-6 Astra 又额外花了 17 小时，用 Lean 对论证进行形式化和验证。整个项目的算力成本估计达数百万美元，有些二手报道给出的数字接近 2200 万美元。

智能体找到的爆破机制，一旦说出来就在几何上很直观：一个静止的涡旋在外力作用下开始旋转，逐步拉长、收紧。随着包含最剧烈运动的空间区域不断缩小，它对动能的贡献保持有界 —— 但中心处的速度却无限增长。OpenAI 研究员 Ven Chandrasekaran 在解释这一结果时指出，这种行为在真实流体中物理上是不可能的，这暗示在极端条件下，这些方程本身可能并不是物理现实的完美镜像。

一场 Lean 解决不了的署名之争

Levent Alpöge 是一位受雇于 Anthropic 的数学家，Tristan Buckmaster 是纽约大学库朗研究所的教授。他们花了约一年时间，结合使用 Anthropic 和 OpenAI 自己的工具 —— 包括 OpenAI 的 Codex —— 攻克同一类流体方程。他们的方法扩展了 Diego Córdoba 和 Luis Martínez-Zoroa 发展的一种「级联」技术，后两位花了多年时间搭建以解析方式构造流体奇点的框架。9 月 7 日，也就是 OpenAI 宣布的前一天，Alpöge 和 Buckmaster发表了证明，展示了三类相关方程在有外力条件下的爆破：不可压缩多孔介质方程、Boussinesq 方程组，以及三维欧拉方程。

在同时发布的一份声明中，Buckmaster 称 OpenAI 得知了他们尚未发表的工作，并采用了同样的方法。他指控，领导 OpenAI 数学团队的 Sébastien Bubeck 在一次电话中向他施压，要求在任何联合公告中去掉 Alpöge 的名字，理由正是 Alpöge 受雇于 Anthropic。据TechCrunch 对 Buckmaster 说法的报道，当 Buckmaster 拒绝并威胁公开此事时，Bubeck 回应说「你为什么要毁掉自己的职业生涯？」，后来又说「如果你不想让我客气，那我也不必客气」。

Bubeck 在一次媒体吹风会上否认了这一说法。OpenAI 表示，在 Buckmaster 和 Alpöge 的工作公开之前，它的智能体「没有通过任何途径」看到过这些工作，也没有访问任何特定用户数据。在 9 月 8 日的原始发布中，OpenAI 承认它「不能排除，从他们使用我们产品中得到的去标识化数据帮助改进了我们的模型」。随后，在 9 月 10 日的一次更新中，该公司在进行调查后表示，它已「确认 Buckmaster 在本次公告及 2026 年 9 月 8 日论文发布之前两个月内的 Codex 提示词，不可能以任何方式影响该系统，包括通过训练」。

Buckmaster 在整个项目中大量使用 Codex，把数学论证的完整草稿输入模型。OpenAI 的调查结论是那些会话对训练没有任何影响 —— 但该公司不公开训练数据日志，也不存在任何外部审计机制来独立核实这一结论。对证明的 Lean 验证可以确认其内部逻辑的有效性；它无法确认这些想法源自何处。

UCLA 的菲尔兹奖得主陶哲轩曾在 9 月 7 日写道，Alpöge 和 Buckmaster 的结果是「一项了不起的成就」，奇点如今看起来「非常可行」；他后来对 CNN 表示，这种竞赛态势正在「把这门学科变成一场毫无意义的生产配额游戏，最终无论对数学还是对世界都几乎没有益处」。他把一份人类无法洞察其推理的 AI 证明，比作只看一部电影的开头和结尾十分钟。

霍奇猜想与贝赫-斯维纳通-戴尔猜想究竟在问什么

霍奇猜想由苏格兰数学家威廉·霍奇在 1950 年国际数学家大会上提出，属于代数几何。被称为复代数簇的高维几何对象 —— 由多项式方程组的解定义 —— 可以用拓扑工具来分析，把它们的结构分解成被称为霍奇类的抽象成分。这个猜想问的是：每一个这样的类，是否都能表示为真正代数的碎片的组合 —— 即由多项式方程定义的子对象。

通俗地说，霍奇猜想问的是：一个代数簇投下的每一道「拓扑之影」，是否本身都源自代数。专家们对这个猜想是否成立分歧很深。有人相信它对所有维度都成立；另一些人一直在寻找反例，理由是高维反例可能恰恰存在，因为人类直觉在那些场景下会失灵。一个反例需要构造出一个具体的代数簇，带有一个无法写成任何代数闭链的霍奇类 —— 这正是大规模计算搜索原则上有可能找出候选结构的那种构造性任务。至于一个智能体系统能否找到对一般命题的完整证明或否证，目前未知；数学界对霍奇传闻的怀疑，也远比对纳维-斯托克斯的主张要多。

贝赫和斯维纳通-戴尔猜想由英国数学家布赖恩·贝赫和彼得·斯维纳通-戴尔在 20 世纪 60 年代借助剑桥早期的 EDSAC-2 计算机提出，它把数论中两个截然不同的对象联系起来：椭圆曲线及其对应的 L 函数。椭圆曲线是由一个三次方程定义的几何对象；它的「秩」衡量它有多少有理数解，而对任意曲线计算这个秩依然极其困难。该猜想断言，曲线的秩编码在其 L 函数在某个特定点处的行为之中 —— 把一个困难的算术量与一个可计算的分析量联系起来。证明它将解决同余数问题 —— 即哪些整数能表示为三边都是有理数的直角三角形的面积 —— 这个问题已悬而未决了一千多年。

截至本文撰写时，霍奇猜想和贝赫-斯维纳通-戴尔猜想都没有任何经独立确认的突破。所报道的进展 —— 霍奇来自 OpenAI，BSD 可能来自 Anthropic —— 仍未正式宣布，也未经验证。

一个证明解决不了的结构性问题

如果 OpenAI 的第二份声明在数学上站得住，千禧年大奖难题清单的崩塌速度将非同寻常：从 2026 年 8 月的六道未解难题，可能在几周内变成三道。但纳维-斯托克斯这一插曲，已经暴露出一个任何 Lean 验证都解决不了的结构性问题。

当研究者用前沿 AI 实验室的工具推进尚未发表的工作时，实验室掌握着一旦听到风声、就能立刻发起竞争性攻关所需的一切。Buckmaster 和 Alpöge 并不知道他们的 Codex 会话可能变成一张路线图。Simon Willison 公开提出的问题精确地抓住了症结：如果一位研究者用某家 AI 实验室的编程助手部分解决了一道千禧年大奖难题，这项工作以某种方式影响训练、从而让实验室能够独立完成解答并抢先发表的概率有多大？OpenAI 自己的调查结论是，在这个案例中不可能发生这种影响 —— 但这一结论建立在一次没有外部审计的内部调查之上。

克雷研究所在认证任何结果之前设有两年的等待期，其现行规则赋予它在署名或正确性无法确立时不颁奖的裁量权。对于纳维-斯托克斯问题，这两个问题都还悬而未决。证明本身有待专家审查。署名争议则有待一个解决方案，而现行的署名体系 —— 为个体研究者之间的纠纷而设计，而不是为一位研究者与一家用该研究者的按键记录训练模型的实验室之间的纠纷而设计 —— 未必有能力给出。数学接下来的走向，可能与其说取决于下一道倒下的是哪道题，不如说取决于这个领域能否足够快地建立新规范，来保护那个让这些问题值得去解的研究过程。